13. Matemática Pitagórica

Sobre o significado secreto dos números, houve muita especulação. Embora muitas descobertas interessantes tenham sido feitas, pode-se afirmar com segurança que, com a morte de Pitágoras, a grande chave para essa ciência se perdeu. Por quase 2500 anos, filósofos de todas as nações tentaram desvendar o emaranhado pitagórico, mas aparentemente nenhum obteve sucesso.

Apesar das tentativas de obliterar todos os registros dos ensinamentos de Pitágoras, fragmentos sobreviveram, fornecendo pistas sobre algumas das partes mais simples de sua filosofia. Os principais segredos nunca foram registrados por escrito, mas transmitidos oralmente a alguns discípulos escolhidos. Estes, aparentemente, não revelaram seus segredos aos profanos, resultando no fato de que, quando a morte selou seus lábios, os mistérios morreram com o dia.

Certas escolas secretas existentes hoje são perpetuações dos antigos Mistérios e, embora seja bem possível que possuam algumas das fórmulas numéricas originais, não há evidências disso nos volumosos escritos que surgiram desses grupos nos últimos quinhentos anos. Esses escritos, embora frequentemente discutam Pitágoras, não demonstram um conhecimento mais completo de suas doutrinas complexas do que o dos especuladores gregos pós-pitagóricos, que falavam muito, escreviam pouco, sabiam menos ainda e ocultavam sua ignorância sob uma série de insinuações e promessas misteriosas. Aqui e ali, entre as obras literárias dos primeiros escritores, encontram-se afirmações enigmáticas que eles não se deram ao trabalho de interpretar. O exemplo a seguir é citado de Plutarco: “Os pitagóricos vão ainda mais longe e honram números pares e diagramas geométricos com os nomes e títulos dos deuses. Assim, chamam o triângulo equilátero de Minerva e Tritogenia, porque pode ser dividido igualmente por três perpendiculares traçadas a partir de cada um dos ângulos. Da mesma forma, chamam a unidade de Apolo, assim como ao número dois atribuem o nome de conflito e audácia, e ao três, justiça. Pois, assim como causar dano é um extremo de um lado, e sofrer dano é um extremo do outro, e sofrer dano fica no meio termo entre eles. Da mesma forma, o número trinta e seis, seu Tetractys, ou Quatérnio sagrado, sendo composto dos quatro primeiros números ímpares somados aos quatro primeiros números pares, como é comumente relatado, é considerado por eles o juramento mais solene que podem fazer, e chamado de Cosmos.” ( Ísis e Osíris ) Anteriormente na mesma obra, Plutarco também observa: “Pois assim como o poder do triângulo expressa a natureza de Plutão, Baco e Marte; e as propriedades do quadrado, de Reia, Vênus, Ceres, Vesta e Juno; do dodecaedro, de Júpiter; assim também, como nos informa Eudoxo, a figura de cinquenta e seis ângulos expressa a natureza de Tifão.” Plutarco não pretendia explicar o significado intrínseco dos símbolos, mas acreditava que a relação que Pitágoras estabeleceu entre os sólidos geométricos e os deuses era resultado de imagens que o grande sábio vira nos templos egípcios.

Albert Pike, o grande simbolista maçônico, admitiu que havia muitos pontos sobre os quais não conseguia obter informações confiáveis. Em sua obra “Simbolismo”, a respeito dos graus 32 e 33, escreveu: “Não entendo por que o 7 deveria ser chamado de Minerva, ou o cubo, Netuno”. Mais adiante, acrescentou: “Sem dúvida, os nomes dados pelos pitagóricos aos diferentes números eram enigmáticos e simbólicos – e há pouca dúvida de que, na época de Plutarco, os significados que esses nomes ocultavam haviam se perdido. Pitágoras havia conseguido ocultar seus símbolos com um véu que, desde o princípio, era impenetrável, sem sua explicação oral […]”.

Essa incerteza, compartilhada por todos os verdadeiros estudiosos do assunto, prova conclusivamente que é imprudente fazer afirmações definitivas com base nas informações indefinidas e fragmentárias disponíveis sobre o sistema pitagórico de filosofia matemática. O material que se segue representa um esforço para reunir alguns pontos relevantes dos registros dispersos preservados por discípulos de Pitágoras e outros que posteriormente entraram em contato com sua filosofia.

MÉTODO PARA GARANTIR O PODER NUMÉRICO DAS PALAVRAS O primeiro passo para obter o valor numérico de uma palavra é traduzi-la de volta para sua língua original. Somente palavras de origem grega ou hebraica podem ser analisadas com sucesso por esse método, e todas as palavras devem ser escritas em suas formas mais antigas e completas. Palavras e nomes do Antigo Testamento, portanto, devem ser traduzidos de volta para os caracteres hebraicos antigos e palavras do Novo Testamento para o grego.

Dois exemplos ajudarão a esclarecer esse princípio.

O Demiúrgo dos Judeus é chamado em inglês de Jeová, mas ao buscar o valor numérico do nome Jeová, é necessário decompor o nome em suas letras hebraicas. Torna-se YHVH e é lido da direita para a esquerda. As letras hebraicas são: H, He; V, Vau; H, He; Y, Yod; e quando invertidas para a ordem inglesa da esquerda para a direita, lemos: Yod-He-Vau-He.

Consultando a tabela de valores das letras acima, verifica-se que os quatro caracteres deste nome sagrado têm o seguinte significado numérico: Yod equivale a 10. He equivale a 5, Vau equivale a 6 e o segundo He equivale a 5.

Portanto, 10 + 5 + 6 + 5 = 26, um sinônimo de Jeová. Se as letras inglesas fossem usadas, a resposta obviamente não estaria correta.

O segundo exemplo é o misterioso panteão gnóstico Abraxas. Para este nome, utiliza-se a tabela grega. Abraxas em grego é Αβραξας. Α = 1, β = 2, ρ = 100, α = 1, ξ = 60, α = 1, ς = 200, cuja soma é 365, o número de dias do ano. Este número fornece a chave para o mistério de Abraxas, que é simbólico dos 365 Éons, ou Espíritos dos Dias, reunidos em uma personalidade composta. Abraxas é simbólico de cinco criaturas e, como o círculo do ano consiste em 360 graus, cada uma das divindades emanadas representa um quinto desse poder, ou 72, um dos números mais sagrados do Antigo Testamento dos judeus e de seu sistema cabalístico. Esse mesmo método é usado para encontrar o valor numérico dos nomes dos deuses e deusas dos gregos e judeus.

Todos os números maiores podem ser reduzidos a um dos dez numerais originais, e o próprio 10 a 1. Portanto, todos os grupos de números resultantes da tradução dos nomes das divindades em seus equivalentes numéricos têm como base um dos dez primeiros números. Por esse sistema, no qual os dígitos são somados, 666 torna-se 6+6+6 ou 18, e este, por sua vez, torna-se 1+8 ou 9. De acordo com o Apocalipse, 144.000 serão salvos.

Esse número torna-se 1+4+4+0+0+0, que é igual a 9, provando assim que tanto a Besta da Babilônia quanto o número dos salvos se referem ao próprio homem, cujo símbolo é o número 9. Esse sistema pode ser usado com sucesso tanto com letras gregas quanto hebraicas.

O sistema pitagórico original de filosofia numérica não contém nada que justifique a prática, hoje em voga, de mudar o nome ou sobrenome na esperança de melhorar o temperamento ou a condição financeira, alterando as vibrações do nome.

OS VALORES NUMÉRICOS DOS ALFABETOS HEBRAICO, GREGO E SAMARITANA.

De “Druidas Celtas” de Higgins.

Coluna 1. Nomes das letras hebraicas.

2 Cartas Samaritanas.

3 letras hebraicas e caldeias.

4. Equivalentes numéricos das letras.

5 letras gregas maiúsculas e minúsculas.

6 As letras marcadas com asteriscos são aquelas trazidas da Fenícia para a Grécia por Cadmo.

Nomes das letras gregas.

Equivalentes em inglês mais próximos das letras hebraicas, gregas e samaritanas.

NOTA. Quando usado no final de uma palavra, o Tau hebraico tem o valor numérico de 440, Caph 500, Mem 600, Nun 700, Pe 800 e Tzadi 900. Um Alfa pontilhado e um Aleph tracejado têm o valor de 1.000.

Existe também um sistema de cálculo em voga para a língua inglesa, mas sua precisão é objeto de legítima controvérsia. É relativamente moderno e não possui relação com o sistema cabalístico hebraico nem com o procedimento grego. A alegação de alguns de que se trata de um sistema pitagórico não encontra respaldo em nenhuma evidência concreta, e há muitas razões pelas quais tal afirmação é insustentável. O fato de Pitágoras usar o 10 como base para o cálculo, enquanto este sistema usa o 9 — um número imperfeito — é, por si só, quase conclusivo. Além disso, a disposição das letras gregas e hebraicas não coincide suficientemente com a do inglês para permitir a aplicação das sequências numéricas de uma língua às sequências numéricas de outras. Mais experimentações com o sistema podem ser proveitosas, mas ele não tem fundamento na antiguidade. A disposição das letras e números é a seguinte: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | — | — | — | — | — | — | — | — | — | | UM | B | C | D | E | F | G | H | EU | | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | | S | T | EM | Em | EM | X | E | COM | | As letras abaixo de cada número representam o valor do algarismo no topo da coluna. Assim, na palavra “man” (homem), M = 4, A = 1, N = 5: um total de 10. Os valores dos números são praticamente os mesmos que os do sistema pitagórico.

UMA INTRODUÇÃO À TEORIA PITAGÓREA DOS NÚMEROS (O seguinte esboço da matemática pitagórica é uma paráfrase dos capítulos iniciais de Aritmética Teórica de Thomas Taylor, a compilação mais rara e importante de fragmentos matemáticos pitagóricos que existe.)

Os pitagóricos declararam que a aritmética era a mãe das ciências matemáticas. Isso é comprovado pelo fato de que a geometria, a música e a astronomia dependem dela, mas a aritmética não depende delas. Assim, a geometria pode ser removida, mas a aritmética permanece; porém, se a aritmética for removida, a geometria é eliminada. Da mesma forma, a música depende da aritmética, mas a eliminação da música afeta a aritmética apenas limitando uma de suas expressões. Os pitagóricos também demonstraram que a aritmética é anterior à astronomia, pois esta depende tanto da geometria quanto da música. O tamanho, a forma e o movimento dos corpos celestes são determinados pelo uso da geometria; sua harmonia e ritmo, pelo uso da música. Se a astronomia for removida, nem a geometria nem a música são prejudicadas; mas se a geometria e a música forem eliminadas, a astronomia é destruída. A prioridade da geometria e da música sobre a astronomia está, portanto, estabelecida. A aritmética, contudo, é anterior a todas; ela é primária e fundamental.

Pitágoras ensinou a seus discípulos que a ciência da matemática se divide em duas partes principais. A primeira se ocupa da multidão, ou das partes constituintes de uma coisa, e a segunda da magnitude, ou do tamanho ou densidade relativa de uma coisa.

A magnitude se divide em duas partes: a magnitude estacionária e a magnitude móvel, sendo a estacionária prioritária. A multidão também se divide em duas partes, pois se relaciona consigo mesma e com outras coisas, sendo a primeira relação prioritária. Pitágoras atribuiu a ciência da aritmética à multidão relacionada a si mesma, e a arte da música à multidão relacionada a outras coisas. A geometria, da mesma forma, foi atribuída à magnitude estacionária, e as esferas (usadas em parte no sentido da astronomia) à magnitude móvel. Tanto a multidão quanto a magnitude eram circunscritas pela circunferência da mente. A teoria atômica provou que o tamanho é o resultado do número, pois uma massa é composta de unidades minúsculas, embora confundida por pessoas desinformadas com uma única substância simples.

Devido à condição fragmentária dos registros pitagóricos existentes, é difícil chegar a definições exatas dos termos. Antes que seja possível, porém, aprofundar o assunto, é necessário esclarecer os significados das palavras número, mônada e um.

A mônada significa (a) o UM que tudo inclui. Os pitagóricos chamavam a mônada de “número nobre, Pai dos deuses e dos homens”. A mônada também significa (b) a soma de qualquer combinação de números considerados como um todo. Assim, o universo é considerado uma mônada, mas as partes individuais do universo (como os planetas e os elementos) são mônadas em relação às partes que as compõem, embora estas, por sua vez, sejam partes da mônada maior formada pela sua soma. A mônada também pode ser comparada (c) à semente de uma árvore que, ao crescer, desenvolve muitos ramos (os números). Em outras palavras, os números são para a mônada o que os ramos da árvore são para a semente. A partir do estudo da misteriosa mônada pitagórica, Leibniz desenvolveu sua magnífica teoria dos átomos do mundo — uma teoria em perfeita consonância com os antigos ensinamentos dos Mistérios, pois o próprio Leibniz era um iniciado de uma escola secreta. Por alguns pitagóricos, a mônada também é considerada (d) sinônimo de um.

Número é o termo aplicado a todos os numerais e suas combinações. (Uma interpretação estrita do termo número por alguns pitagóricos exclui 1 e 2.)

Pitágoras define número como a extensão e a energia das razões espermáticas contidas na mônada. Os seguidores de Hipaso declararam que o número foi o primeiro padrão usado pelo Demiurgo na formação do universo.

O Um foi definido pelos platônicos como “o ápice dos muitos”. O Um difere da mônada porque o termo mônada é usado para designar a soma das partes consideradas como uma unidade, enquanto o Um é o termo aplicado a cada uma de suas partes integrantes.

Existem duas ordens de números: ímpar e par. Como a unidade, ou 1, permanece sempre indivisível, o número ímpar não pode ser dividido igualmente. Assim, 9 é 4 + 1 + 4, sendo a unidade no centro indivisível.

Além disso, se qualquer número ímpar for dividido em duas partes, uma parte será sempre ímpar e a outra par. Assim, 9 pode ser 5 + 4, 3 + 6, 7 + 2 ou 8 + 1. Os pitagóricos consideravam o número ímpar — do qual a mônada era o protótipo — como definido e masculino. No entanto, nem todos concordavam quanto à natureza da unidade, ou 1. Alguns declaravam que era positivo, porque se adicionado a um número par (negativo), produz um número ímpar (positivo). Outros demonstravam que se a unidade fosse adicionada a um número ímpar, este se tornaria par, tornando assim o masculino feminino. A unidade, ou 1, portanto, era considerada um número andrógino, possuindo atributos tanto masculinos quanto femininos.

Consequentemente, tanto números ímpares quanto pares. Por essa razão, os pitagóricos chamavam isso de paridade-ímpar. Era costume entre os pitagóricos oferecer sacrifícios de um número ímpar de objetos aos deuses superiores, enquanto às deusas e aos espíritos subterrâneos era oferecido um número par.

Qualquer número par pode ser dividido em duas partes iguais, que são sempre ou ambas ímpares ou ambas pares. Assim, 10, dividido igualmente, resulta em 5 + 5, ambos números ímpares. O mesmo princípio se aplica se o 10 for dividido desigualmente. Por exemplo, em 6 + 4, ambas as partes são pares; em 7 + 3, ambas as partes são ímpares; em 8 + 2, ambas as partes são novamente pares; e em 9 + 1, ambas as partes são novamente ímpares.

Portanto, em um número par, independentemente de como seja dividido, as partes serão sempre ambas ímpares ou ambas pares. Os pitagóricos consideravam o número par — do qual a díade era o protótipo — como indefinido e feminino.

Os números ímpares são divididos por um artifício matemático — chamado “Crivo de Eratóstenes” — em três classes gerais: incompósitos, compósitos e incompósitos-compósitos.

Os números incompósitos são aqueles que não possuem divisores além de si mesmos e da unidade, como 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, e assim por diante. Por exemplo, 7 é divisível apenas por 7, que divide a si mesmo uma vez, e pela unidade, que divide 7 sete vezes.

Os números compostos são aqueles que são divisíveis não apenas por si mesmos e pela unidade, mas também por algum outro número, como 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39, 45, 51, 57 e assim por diante. Por exemplo, 21 é divisível não apenas por si mesmo e pela unidade, mas também por 3 e por 7.

Os números incompósitos-compósitos são aqueles que não possuem um divisor comum, embora cada um deles seja divisível por si só, como 9 e 25.

Por exemplo, 9 é divisível por 3 e 25 por 5, mas nenhum deles é divisível pelo divisor do outro; portanto, eles não possuem um divisor comum. Como possuem divisores individuais, são chamados de compostos; e como não possuem um divisor comum, são chamados de incompósitos.

Consequentemente, o termo incompósito-compósito foi criado para descrever suas propriedades.

Os números pares são divididos em três classes: pares, ímpares e ímpares.

Os números pares exatos estão todos em razão binária a partir da unidade; assim: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 e 1024. A prova de um número par exato perfeito reside no fato de que ele pode ser dividido ao meio e as metades novamente divididas ao meio até se obter a unidade, pois 1/2 de 64 = 32; 1/2 de 32 = 16; 1/2 de 16 = 8; 1/2 de 8 = 4; 1/2 de 4 = 2; 1/2 de 2 = 1; além da unidade, é impossível ir.

Os números pares exatos possuem certas propriedades únicas. A soma de qualquer número de termos, exceto o último, é sempre igual ao último termo menos um. Por exemplo: a soma do primeiro e do segundo termos (1+2) é igual ao terceiro termo (4) menos um; ou, a soma do primeiro, segundo, terceiro e quarto termos (1+2+4+8) é igual ao quinto termo (16) menos um.

Em uma sequência de números pares, o primeiro multiplicado pelo último é igual ao último, o segundo multiplicado pelo penúltimo é igual ao último, e assim por diante, até que, em uma sequência ímpar, reste apenas um número, que multiplicado por si mesmo é igual ao último número da sequência; ou, em uma sequência par, restem dois números, que multiplicados entre si resultam no último número da sequência. Por exemplo: 1, 2, 4, 8, 16 é uma sequência ímpar. O primeiro número (1) multiplicado pelo último número (16) é igual ao último número (16). O segundo número (2) multiplicado pelo penúltimo número (8) é igual ao último número (16). Sendo uma sequência ímpar, o 4 permanece no meio, e este multiplicado por si mesmo também é igual ao último número (16).

Os números ímpares são aqueles que, quando divididos ao meio, não podem ser divididos novamente por dois. Eles são formados multiplicando-se os números ímpares em ordem sequencial por 2. Por esse processo, os números ímpares 1, 3, 5, 7, 9 e 11 produzem os números ímpares 2, 6, 10, 14, 18 e 22.

Assim, todo quarto número é ímpar. Cada um dos números ímpares pode ser dividido uma vez, como 2, que se torna dois 1 e não pode ser dividido novamente; ou 6, que se torna dois 3 e também não pode ser dividido novamente.

A PENEIRA DE ERATÓSTENOS.

Redesenhado a partir da Aritmética Teórica de Taylor.

Este crivo é um dispositivo matemático criado por Eratóstenes por volta de 230 a.C. com o propósito de separar os números ímpares compostos dos incompostos. Seu uso é extremamente simples após o domínio da teoria.

Todos os números ímpares são inicialmente organizados em sua ordem natural, como mostrado no segundo painel de baixo para cima, designado como Números Ímpares. Observa-se então que todo terceiro número (a partir do 3) é divisível por 3, todo quinto número (a partir do 5) é divisível por 5, todo sétimo número (a partir do 7) é divisível por 7, todo nono número (a partir do 9) é divisível por 9, todo décimo primeiro número (a partir do 11) é divisível por 11, e assim por diante até o infinito. Este sistema finalmente separa o que os pitagóricos chamavam de números “incompostos”, ou seja, aqueles que não possuem divisores além de si mesmos e da unidade. Esses dados podem ser encontrados no painel inferior, designado como Números Primários e Incompostos. Em sua História da Matemática, David Eugene Smith afirma que Eratóstenes foi um dos maiores estudiosos de Alexandria e era chamado por seus admiradores de “o segundo Platão”. Eratóstenes foi educado em Atenas e é renomado não apenas por sua peneira, mas também por ter calculado, por um método muito engenhoso, a circunferência e o diâmetro da Terra. Sua estimativa do diâmetro da Terra era apenas 80 quilômetros menor que o diâmetro polar aceito pelos cientistas modernos.

Essa e outras conquistas matemáticas de Eratóstenes são evidências indiscutíveis de que, no século III a.C., os gregos não apenas sabiam que a Terra era esférica, mas também podiam aproximar, com incrível precisão, seu tamanho real e sua distância tanto do Sol quanto da Lua. Aristarco de Samos, outro grande astrônomo e matemático grego, que viveu por volta de 250 a.C., estabeleceu, por meio de dedução filosófica e alguns instrumentos científicos simples, que a Terra girava em torno do Sol. Embora Copérnico realmente acreditasse ser o descobridor desse fato, ele apenas reiterou as descobertas apresentadas por Aristarco mil e setecentos anos antes.

Outra peculiaridade dos números ímpares é que, se o divisor for ímpar, o quociente será sempre par, e se o divisor for par, o quociente será sempre ímpar. Por exemplo: se 18 for dividido por 2 (um divisor par), o quociente será 9 (um número ímpar); se 18 for dividido por 3 (um divisor ímpar), o quociente será 6 (um número par).

Os números ímpares também são notáveis porque cada termo é metade da soma dos termos adjacentes. Por exemplo: 10 é metade da soma de 6 e 14; 18 é metade da soma de 14 e 22; e 6 é metade da soma de 2 e 10.

Os números ímpares, ou pares desiguais, são um meio-termo entre os números pares e os números ímpares. Ao contrário dos pares, eles não podem ser divididos ao meio para retornar à unidade; e, ao contrário dos ímpares, podem ser divididos por dois mais de uma vez. Os números ímpares são formados multiplicando-se os números pares acima de 2 pelos números ímpares acima de 1. Os números ímpares acima de 1 são 3, 5, 7, 9, 11 e assim por diante. Os números pares acima de 2 são 4, 8, 16, 32, 64 e assim por diante. O primeiro número ímpar da sequência (3) multiplicado por 4 (o primeiro número par da sequência) resulta em 12, o primeiro número ímpar.

Multiplicando 5, 7, 9, 11 e assim por diante por 4, encontram-se os números ímpares. Os demais números ímpares são obtidos multiplicando-se 3, 5, 7, 9, 11 e assim por diante, sucessivamente, pelos demais números pares (8, 16, 32, 64 e assim por diante). Um exemplo de divisão de um número ímpar por dois é o seguinte: 1/2 de 12 = 6; 1/2 de 6 = 3, que não pode ser dividido por dois novamente porque os pitagóricos não dividiam a unidade.

Os números pares também são divididos em três outras classes: superperfeitos, deficientes e perfeitos.

Números superperfeitos ou superabundantes são aqueles em que a soma de suas partes fracionárias é maior que eles mesmos. Por exemplo: 1/2 de 24 = 12; 1/4 = 6; 1/3 = 8; 1/6 = 4; 1/12 = 2; e 1/24 = 1. A soma dessas partes (12+6+8+4+2+1) é 33, que é maior que 24, o número original.

Números deficientes são aqueles cuja soma das partes fracionárias é menor que o próprio número. Por exemplo: 1/2 de 14 = 7; 1/7 = 2; e 1/14 = 1. A soma dessas partes (7+2+1) é 10, que é menor que 14, o número original.

Números perfeitos são aqueles em que a soma de suas partes fracionárias é igual a eles mesmos. Por exemplo: 1/2 de 28 = 14; 1/4 = 7; 1/7 = 4; 1/14 = 2; e 1/28 = 1. A soma dessas partes (14 + 7 + 4 + 2 + 1) é igual a 28.

Os números perfeitos são extremamente raros. Existe apenas um entre 1 e 10, a saber, o 6; um entre 10 e 100, a saber, o 28; um entre 100 e 1.000, a saber, o 496; e um entre 1.000 e 10.000, a saber, o 8.128. Os números perfeitos são encontrados pela seguinte regra: o primeiro número da sequência de números pares (1, 2, 4, 8, 16, 32 e assim por diante) é somado ao segundo número da sequência e, se o resultado for um número incomposto, este é multiplicado pelo último número da sequência de números pares cuja soma o produziu. O produto é o primeiro número perfeito. Por exemplo: o primeiro e o segundo números pares são 1 e 2. Sua soma é 3, um número incomposto. Se multiplicarmos 3 por 2, o último número da sequência de números pares usados para produzi-lo, o resultado será 6, o primeiro número perfeito. Se a soma dos números pares não resultar em um número incompleto, o próximo número par da sequência deve ser adicionado até que se obtenha um número incompleto. O segundo número perfeito é encontrado da seguinte maneira: a soma dos números pares 1, 2 e 4 é 7, um número incompleto. Se multiplicarmos 7 por 4 (o último número da sequência de números pares usados para produzi-lo), o resultado será 28, o segundo número perfeito. Este método de cálculo pode ser continuado infinitamente.

Números perfeitos, quando multiplicados por 2, produzem números superabundantes, e quando divididos por 2, produzem números deficientes.

Os pitagóricos desenvolveram sua filosofia a partir da ciência dos números.

A seguinte citação de Aritmética Teórica é um excelente exemplo dessa prática: “Os números perfeitos, portanto, são belas imagens das virtudes que representam meios certos entre o excesso e a deficiência, e não são ápices, como alguns antigos supunham que fossem. E o mal, de fato, opõe-se ao mal, mas ambos se opõem a um bem. O bem, porém, nunca se opõe ao bem, mas a dois males simultaneamente. Assim, a timidez se opõe à audácia, sendo comum a ambas a falta de verdadeira coragem; mas tanto a timidez quanto a audácia se opõem à fortaleza. A astúcia também se opõe à fatuidade, sendo comum a ambas a falta de intelecto; e ambas se opõem à prudência. Assim também, a profusão se opõe à avareza, sendo comum a ambas a falta de liberalidade; e ambas se opõem à liberalidade. E de maneira semelhante ocorre com as demais virtudes; por todas elas, fica evidente que os números perfeitos têm grande semelhança com as virtudes. Mas eles também se assemelham às virtudes por outro motivo: são raramente encontrados, por serem poucos, e Eles são gerados em uma ordem muito constante. Ao contrário, pode-se encontrar uma infinidade de números superabundantes e diminuídos, que não estão dispostos em nenhuma série ordenada, nem são gerados a partir de nenhum fim certo; e, portanto, têm grande semelhança com os vícios, que são numerosos, desordenados e indefinidos.”

A TABELA DOS DEZ NÚMEROS (O seguinte esboço dos números pitagóricos é uma paráfrase dos escritos de Nicômaco, Teon de Esmirna, Proclo, Porfírio, Plutarco, Clemente de Alexandria, Aristóteles e outras autoridades antigas.)

A mônada –1– é assim chamada porque permanece sempre na mesma condição, isto é, separada da multidão. Seus atributos são os seguintes: é chamada de mente, porque a mente é estável e tem preeminência; hermafrodita, porque é tanto masculina quanto feminina; ímpar e par, pois ao ser adicionada ao par, torna-se ímpar, e ao ímpar, par; Deus, porque é o princípio e o fim de tudo, mas em si mesma não tem princípio nem fim; boa, pois essa é a natureza de Deus; receptáculo da matéria, porque produz a díade, que é essencialmente material.

Para os pitagóricos, a mônada era chamada de caos, obscuridade, abismo, Tártaro, Estige, Lete, Atlas, Eixo, Morfo (um nome para Vênus) e Torre ou Trono de Júpiter, devido ao grande poder que reside no centro do universo e controla o movimento circular dos planos ao seu redor. A mônada também é chamada de razão germinal, por ser a origem de todos os pensamentos no universo. Outros nomes que lhe foram atribuídos foram: Apolo, por sua relação com o Sol; Prometeu, por ter trazido a luz ao homem; Piralio, aquele que existe no fogo; genitura, porque sem ela nenhum número pode existir; substância, porque a substância é primária; causa da verdade; e constituição da sinfonia: todos esses nomes por ser o primordial.

Entre o maior e o menor, a mônada é igual; entre a intenção e a remissão, é o meio; em multidão, é a média; e no tempo, é o agora, porque a eternidade não conhece passado nem futuro. É chamada de Júpiter, porque ele é o Pai e chefe dos deuses; Vesta, o fogo do lar, porque está localizada no centro do universo e permanece ali, sem se inclinar para nenhum lado, como um ponto em um círculo; forma, porque circunscreve, compreende e termina; amor, concórdia e piedade, porque é indivisível. Outros nomes simbólicos para a mônada são navio, carruagem, Proteu (um deus capaz de mudar de forma), Mnemosine e Poliônimo (que tem muitos nomes).

Os seguintes nomes simbólicos foram dados à díade–2–porque ela foi dividida, e é duas em vez de uma; e quando há duas, cada uma se opõe à outra: gênio, mal, escuridão, desigualdade, instabilidade, mobilidade, ousadia, fortaleza, contenda, matéria, dissimilaridade, partição entre multidão e mônada, defeito, informe, indefinição, indeterminação, harmonia, tolerância, raiz, pés da fonte abundante de ideias, topo, Fanes, opinião, falácia, alteridade, timidez, impulso, morte, movimento, geração, mutação, divisão, longitude, aumento, composição, comunhão, infortúnio, sustentação, imposição, casamento, alma e ciência.

Em seu livro Números, W. Wynn Westcott diz sobre a díade: “ela foi chamada de ‘Audácia’, por ser o primeiro número a se separar do Divino; do ‘Adito do Silêncio nutrido por Deus’, como dizem os oráculos caldeus.”

Assim como a mônada é o pai, a díade é a mãe; portanto, a díade tem certos pontos em comum com as deusas Ísis, Reia (mãe de Júpiter), Frígia, Lídia, Dindimene (Cibele) e Ceres; Erato (uma das Musas); Diana, porque a lua é bifurcada; Dictina, Vênus, Dione, Citereia; Juno, porque ela é esposa e irmã de Júpiter; e Maia, a mãe de Mercúrio.

Enquanto a mônada é o símbolo da sabedoria, a díade é o símbolo da ignorância, pois nela existe o sentido de separação — sentido esse que é o início da ignorância. A díade, contudo, é também a mãe da sabedoria, pois a ignorância — por sua própria natureza — invariavelmente dá origem à sabedoria.

Os pitagóricos reverenciavam a mônada, mas desprezavam a díade, por ser o símbolo da polaridade. Pelo poder da díade, o abismo foi criado em contraposição aos céus. O abismo espelhava os céus e tornou-se o símbolo da ilusão, pois o que estava abaixo era meramente um reflexo do que estava acima. O que estava abaixo era chamado de maya, a ilusão, o mar, o Grande Vazio, e para simbolizá-lo, os Magos da Pérsia carregavam espelhos. Da díade surgiram disputas e contendas, até que, ao interpor a mônada entre as duas, o equilíbrio foi restabelecido pelo Deus Salvador, que assumiu a forma de um número e foi crucificado entre dois ladrões pelos pecados dos homens.

A tríade — 3 — é o primeiro número verdadeiramente ímpar (a mônada nem sempre é considerada um número). É o primeiro equilíbrio de unidades; portanto, Pitágoras disse que Apolo proferia oráculos de um tripé e aconselhava a oferta de libações três vezes ao dia. As palavras-chave das qualidades da tríade são amizade, paz, justiça, prudência, piedade, temperança e virtude. As seguintes divindades compartilham os princípios da tríade: Saturno (regente do tempo), Latona, Cornucópia, Ofíon (a grande serpente), Tétis, Hécate, Polímnia (uma Musa), Plutão, Tritão, Presidente do Mar, Tritogênia, Aqueloo e as Faces, Fúrias e Graças. Este número é chamado de sabedoria, porque os homens organizam o presente, preveem o futuro e se beneficiam das experiências do jejum. É a causa da sabedoria e do entendimento. A tríade é o número do conhecimento — música, geometria e astronomia, e a ciência dos corpos celestes e terrestres. Pitágoras ensinava que o cubo desse número tinha o poder do círculo lunar.

A sacralidade da tríade e de seu símbolo — o triângulo — deriva do fato de ser composta pela mônada e pela díade. A mônada é o símbolo do Pai Divino e a díade, da Grande Mãe. A tríade, sendo formada por esses dois elementos, é, portanto, andrógina e simboliza o fato de Deus ter dado à luz Seus mundos a partir de Si mesmo, que em Seu aspecto criador é sempre simbolizado pelo triângulo. A mônada, ao se transformar em díade, tornou-se, assim, capaz de gerar descendentes, pois a díade era o ventre de Meru, dentro do qual o mundo foi incubado e dentro do qual ainda existe em embrião.

A tétrade — 4 — era estimada pelos pitagóricos como o número primogênito, a raiz de todas as coisas, a fonte da Natureza e o número mais perfeito. Todas as tétrades são intelectuais; possuem uma ordem emergente e circundam o mundo como o Empíreo o atravessa. A razão pela qual os pitagóricos expressavam Deus como uma tétrade é explicada em um discurso sagrado atribuído a Pitágoras, no qual Deus é chamado de Número dos Números. Isso ocorre porque a décima, ou 10, é composta por 1, 2, 3 e 4. O número 4 é simbólico de Deus porque simboliza os quatro primeiros números. Além disso, a tétrade é o centro da semana, estando a meio caminho entre 1 e 7. A tétrade é também o primeiro sólido geométrico.

Pitágoras sustentava que a alma do homem consiste em uma tétrade, sendo as quatro faculdades da alma a mente, a ciência, a opinião e os sentidos. A tétrade conecta todos os seres, elementos, números e estações; e nada pode ser nomeado que não dependa da tetractys. Ela é a Causa e Criadora de todas as coisas, o Deus inteligível, Autor do bem celestial e sensível. Plutarco interpreta essa tetractys, que ele também chamava de mundo, como sendo 36, consistindo dos quatro primeiros números ímpares somados aos quatro primeiros números pares, da seguinte forma: | 1 + 3 + 5 + 7 | = 16 | | ------------- | ---- | | 2 + 4 + 6 + 8 | = 20 | | | 36 | As palavras-chave atribuídas à tétrade são impetuosidade, força, virilidade, de duas mães e guardiã da chave da Natureza, pois a constituição universal não pode existir sem ela. Também é chamada de harmonia e primeira profundidade. As seguintes divindades compartilhavam da natureza da tétrade: Hércules, Mercúrio, Vulcano, Baco e Urânia (uma das Musas).

A tríade representa as cores primárias e os planetas maiores, enquanto a tétrade representa as cores secundárias e os planetas menores. Do primeiro triângulo surgem os sete espíritos, simbolizados por um triângulo e um quadrado. Juntos, eles formam o avental maçônico.

A pêntade — 5 — é a união de um número ímpar e um número par (3 e 2).

Entre os gregos, o pentagrama era um símbolo sagrado de luz, saúde e vitalidade. Também simbolizava o quinto elemento — o éter — por ser livre das perturbações dos quatro elementos inferiores. É chamado de equilíbrio, pois divide o número perfeito 10 em duas partes iguais.

A pentade é simbólica da Natureza, pois, quando multiplicada por si mesma, retorna a si mesma, assim como os grãos de trigo, começando na forma de semente, passam pelos processos da Natureza e reproduzem a semente do trigo como a forma final de seu próprio crescimento. Outros números multiplicados por si mesmos produzem outros números, mas somente 5 e 6 multiplicados por si mesmos representam e retêm seu número original como o último dígito em seus produtos.

A pêntade representa todos os seres superiores e inferiores. Às vezes é chamada de hierofante ou sacerdote dos Mistérios, devido à sua conexão com os éteres espirituais, por meio dos quais se alcança o desenvolvimento místico. Palavras-chave da pêntade são reconciliação, alternância, casamento, imortalidade, cordialidade, Providência e som. Entre as divindades que compartilhavam da natureza da pêntade estavam Palas, Nêmesis, Bubástia (Bast), Vênus, Androginia, Citereia e os mensageiros de Júpiter.

A tétrade (os elementos) mais a mônada é igual à pêntade. Os pitagóricos ensinavam que os elementos terra, fogo, ar e água eram permeados por uma substância chamada éter — a base da vitalidade e da vida. Portanto, escolheram a estrela de cinco pontas, ou pentagrama, como símbolo de vitalidade, saúde e interpenetração.

Era costume entre os filósofos ocultar o elemento terra sob o símbolo de um dragão, e muitos heróis da antiguidade foram instruídos a partir e matar o dragão. Assim, eles cravaram suas espadas (a mônada) no corpo do dragão (a tétrade). Isso resultou na formação da pêntade, um símbolo da vitória da natureza espiritual sobre a natureza material. Os quatro elementos são simbolizados nos primeiros escritos bíblicos como os quatro rios que jorravam do Jardim do Éden. Os próprios elementos estão sob o controle dos Querubins de Ezequiel.

Os pitagóricos consideravam o hexade — 6 — como representativo, conforme concebido por Clemente de Alexandria, da criação do mundo segundo os profetas e os antigos Mistérios. Era chamado pelos pitagóricos de perfeição de todas as partes. Esse número era particularmente sagrado para Orfeu, bem como para o Destino, Láquesis, e a Musa, Tália. Era considerado a forma das formas, a articulação do universo e o criador da alma.

Entre os gregos, a harmonia e a alma eram consideradas semelhantes em sua natureza, pois todas as almas são harmônicas. A hexade também é o símbolo do casamento, pois é formada pela união de dois triângulos, um masculino e outro feminino. Entre as palavras-chave atribuídas à hexade estão: tempo, por ser a medida da duração; panaceia, porque a saúde é equilíbrio, e a hexade é um número de equilíbrio; o mundo, porque o mundo, assim como a hexade, é frequentemente visto como constituído de contrários por harmonia; onisciente, porque suas partes são suficientes para a totalidade (3 + 2 + 1 = 6); incansável, porque contém os elementos da imortalidade.

Para os pitagóricos, o heptádeo — 7 — era considerado “digno de veneração”. Era visto como o número da religião, pois o homem é regido por sete espíritos celestiais aos quais é apropriado fazer oferendas. Era chamado de número da vida, porque acreditava-se que os seres humanos nascidos no sétimo mês da vida embrionária geralmente sobreviviam, enquanto os nascidos no oitavo mês frequentemente morriam. Um autor o chamou de Virgem Sem Mãe, Minerva, porque ela não nasceu de uma mãe, mas da coroa, ou da cabeça do Pai, a mônada. Palavras-chave do heptádeo são fortuna, ocasião, custódia, controle, governo, julgamento, sonhos, vozes, sons e aquilo que conduz todas as coisas ao seu fim. As divindades cujos atributos eram expressos pelo heptádeo eram Égis, Osíris, Marte e Cleo (uma das Musas).

Entre muitas nações antigas, o heptáde é um número sagrado. Os Elohim dos judeus eram supostamente sete. Eram os Espíritos da Aurora, mais comumente conhecidos como os Arcanjos que controlavam os planetas. Os sete Arcanjos, com os três espíritos que controlavam o sol em seu aspecto tríplice, constituem o 10, a sagrada decadência pitagórica. A misteriosa tetractís pitagórica, ou quatro fileiras de pontos, aumentando de 1 a 4, era simbólica das etapas da criação. A grande verdade pitagórica de que todas as coisas na Natureza são regeneradas através da decadência, ou 10, é sutilmente preservada na Maçonaria através desses apertos de mão, realizados pela união de 10 dedos, cinco em cada mão.

Os 3 (espírito, mente e alma) descem para os 4 (o mundo), cuja soma é o 7, ou a natureza mística do homem, composta por um corpo espiritual tríplice e uma forma material quádrupla. Estes são simbolizados pelo cubo, que possui seis faces e um misterioso sétimo ponto em seu interior. As seis faces representam as direções: norte, leste, sul, oeste, para cima e para baixo; ou, frente, trás, direita, esquerda, acima e abaixo; ou ainda, terra, fogo, ar, água, espírito e matéria. No meio destas, encontra-se o 1, que é a figura ereta do homem, de cujo centro, no cubo, irradiam seis pirâmides. Daí surge o grande axioma oculto: “O centro é a origem das direções, das dimensões e das distâncias.”

A heptada é o número da lei, porque é o número dos Criadores da lei cósmica, os Sete Espíritos diante do Trono.

A ogdóade — 8 — era sagrada porque era o número do primeiro cubo, cuja forma tinha oito cantos, e era o único número par abaixo de 10 (1-2-4-8-4-2-1). Assim, o 8 é dividido em dois 4, cada 4 é dividido em dois 2 e cada 2 é dividido em dois 1, restabelecendo, dessa forma, a mônada. Entre as palavras-chave da ogdóade estão amor, conselho, prudência, lei e conveniência. Entre as divindades que compartilhavam de sua natureza estavam Panarmonia, Reia, Cibele, Cadmeia, Dindimene, Órcia, Netuno, Têmis e Euterpe (uma Musa).

A ogdóade era um número misterioso associado aos Mistérios de Elêusis da Grécia e aos Cabiri. Era chamada de pequeno número sagrado. Sua forma derivava em parte das serpentes retorcidas do Caduceu de Hermes e em parte do movimento serpentino dos corpos celestes; possivelmente também dos nodos lunares.

A enéade — 9 — era o primeiro quadrado de um número ímpar (3x3). Era associada ao fracasso e à insuficiência, pois ficava aquém do número perfeito 10 por uma unidade. Era chamada de número do homem, devido aos nove meses de sua vida embrionária. Entre suas palavras-chave estão oceano e horizonte, pois para os antigos estes eram ilimitados. A enéade é o número ilimitado porque não há nada além dela, exceto o infinito 10. Era chamada de fronteira e limitação, porque reunia todos os números em si. Era chamada de esfera do ar, porque envolvia os números como o ar envolve a Terra. Entre os deuses e deusas que participaram, em maior ou menor grau, de sua natureza, estavam Prometeu, Vulcano, Juno, irmã e esposa de Júpiter, Peã e Aglaia, Tritogênia, Curetes, Proserpina, Hipérion e Terpsícore (uma Musa).

O número 9 era considerado maligno por ser o 6 invertido. De acordo com os Mistérios de Elêusis, era o número das esferas pelas quais a consciência passava em seu caminho para o nascimento. Devido à sua grande semelhança com o espermatozoide, o 9 tem sido associado à vida germinal.

A década — 10 — segundo os pitagóricos, é o maior dos números, não apenas por ser a tetractys (os 10 pontos), mas também por abarcar todas as proporções aritméticas e harmônicas. Pitágoras afirmava que o 10 é a natureza do número, pois todas as nações o utilizam como referência para seus cálculos e, ao alcançá-lo, retornam à mônada. A década era chamada tanto de céu quanto de mundo, pois o primeiro engloba o segundo. Por ser um número perfeito, a década era aplicada pelos pitagóricos a tudo que se relacionava à idade, ao poder, à fé, à necessidade e à capacidade de memorização. Era também chamada de incansável, pois, como Deus, era inesgotável. Os pitagóricos dividiam os corpos celestes em dez ordens.

Afirmavam ainda que a década aperfeiçoava todos os números e compreendia em si a natureza do par e do ímpar, do móvel e do imóvel, do bem e do mal. Eles associaram seu poder às seguintes divindades: Atlas (pois carregava os números em seus ombros), Urânia, Mnemosine, o Sol, Fanes e o Deus Único.

O sistema decimal provavelmente remonta à época em que era comum contar nos dedos, sendo estes um dos dispositivos de cálculo mais primitivos e ainda em uso por muitos povos indígenas.